Symmetry

第一学期结束后，学校组织了一次Part III Seminar，Part III Math的学生可以自由选择题目给一个报告。于是我讲了讲本科实验室里做的关于计算高阶散射截面的方法。这个报告还拿了一个best presentation奖，不过HEP组里5个报告有两个都拿到了，所以也没什么大不了的。

下面的内容是这个报告前半部分的内容，主要介绍的Parton Distribution Function，和如何计算LHC上的截面。默认读者知道费曼图的最基本的知识。

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在入门的量子场论学习中，我们都会学到如何用费曼图的技术计算最低阶的散射截面。简单来说步骤是：

1. 指定对撞初态和末态的基本粒子；
2. 画出最低阶所有可能的费曼图；
3. 把费曼图转换为代数式获得振幅，并完成积分获得截面。

计算粒子散射的方法

于是我们会想使用这套技术计算LHC上的散射过程的截面。但是因为LHC中的对撞粒子是质子，而不是基本粒子，所以我们还无法画出费曼图。

很自然的，为了画出费曼图，我们便会希望知道组成质子的基本粒子是什么。很明显，质子里有up夸克和down夸克。不过这并不是全部的基本粒子。因为对撞的质子能量很高，所以夸克可以辐射胶子。胶子是传递强相互作用的粒子。如果你没有学过相关的内容，你可以拿光子作为它的类比对象（可以参考前面的图）。

由于胶子能量很高，所以胶子可以劈裂成夸克-反夸克对。就像你在QED里学到的正负电子对撞时会出现光子劈裂成正负电子的费曼图一样。

于是我们可以得出结论，质子中含有的基本粒子有胶子和所有的轻夸克，及其反粒子。重夸克（top）由于质量太大，所以不会出现。

质子的组成

现在我们可以画出费曼图了。例如，一个质子贡献出一个up夸克，另一个质子贡献出一个反up夸克。我们可以画出u ubar->t tbar的费曼图（包含了质子贡献夸克的示意部分）：

费曼图

于是我们就可以计算截面了。但是注意，入射的夸克的动量是不确定的，所以截面必然是这两个动量的函数。入射粒子的会携带质子的部分动量，所以其动量小于等于质子的动量。我们一般地把截面写作：

其中是x_1和x_2是入射基本粒子的动量和质子动量之比。

同时，由于入射的夸克的动量不是固定的，而是分布在一个范围内。所以我们希望知道其概率分布的函数。Parton Distribution Function就是描写这个概率分布的函数。其自变量也为x，变化范围是0~1。还有一个自变量是能标，但是我们不会涉及这部分内容。不同的基本粒子会有不同的Parton Distribution Function。我们把Parton Distribution Function写作：

其中i可以代表不同的基本粒子。

要计算质子+质子->u ubar->t tbar的截面，我们只要把u ubar->t tbar的截面与两个Parton Distribution Function乘在一起，再对x_1和x_2积分就行了。最后，要计算总的LHC上t tbar产生的截面，我们只要把各种可能的入射粒子情况考虑全，加在一起即可。

下面是一个任意散射过程的公式。从图中可以看到，最后的数学式每一部分都有很好的图像上的对应。

到此为止我们已经可以计算LHC上的截面了。总结一句就是引入了Parton Distribution Function，和基本的截面卷积。